英国约克郡的数学爱好者大卫·史密斯(David Smith)发现了一个困扰数学家几十年的13边形。这种凹凸不平、像帽子一样的形状被称为“爱因斯坦”，这个词来源于德语中的“一块石头”。如果你用爱因斯坦形状的瓷砖铺浴室地板——或者任何平坦的表面，即使是无限大的——它们会完美地贴合在一起，但永远不会形成重复的图案。几十年来，数学家们一直在寻找像这样只能形成非重复排列的瓷砖形状，称为非周期瓷砖。他们从许多不同的瓷砖组合开始:1964年发现的第一组瓷砖需要20,426个不同的瓷砖，后来简化为103个。1974年，数学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)发现了两种形状的瓷砖，当它们拼接在一起时，永远不会形成重复的图案。

　　但是，是否有可能用一种形状的瓦片形成一个非周期瓦片——假设的爱因斯坦?摩拉维亚大学(Moravian University)的退休数学家多丽丝·夏施奈德(Doris Schattschneider)擅长镶嵌，她一直对发现真正的爱因斯坦的可能性持怀疑态度。她说:“这就是为什么它不仅被发现，而且是一块如此简单的瓷砖，这让人如此震惊。”“对我来说，这完全是反常的。”史密斯在2022年11月发现了这块瓷砖，当时他正在用一款名为PolyForm Puzzle Solver的软件试验不同形状的瓷砖，其优雅程度令人惊讶。它是由直角风筝组成的，与许多数学家所预测的那种粗糙、复杂的形状完全不同。

　　史密斯给安大略省滑铁卢大学的计算机科学家克雷格·卡普兰(Craig Kaplan)发了电子邮件，卡普兰意识到了这种形状的潜力。虽然它创造的马赛克似乎没有重复的图案，但两人需要用数学方法证明它永远不会重复——即使马赛克是无限大的。他们聘请了软件开发人员约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯和阿肯色大学数学家查伊姆·古德曼-施特劳斯，他们过去都从事过平铺和组合学的研究。

　　研究人员使用了两种方法来证明他们手上有一个真正的爱因斯坦。首先，他们展示了帽子状的瓷砖，当排列在一起时，形成了四种特定的形状。添加更多的瓷砖会形成相同形状的更大版本，或“超级瓷砖”;添加的瓷砖越多，超级瓷砖就越大。数学家已经证明，这种分层结构意味着平铺不能分成重复的部分，因此必须是非周期性的。对于第二个证明，该团队发明了一种新方法，可以将帽状瓷砖与更知名的形状称为多菱形的非周期性瓷砖进行比较。在这个过程中，研究小组还表明，人们可以通过调整一些边的长度来制造无数个类似的爱因斯坦。

　　即使有了这些证明，数学家们也还没有形成一个更广泛的理论来解释这个简单的帽子形状如此特殊的原因。“这仍然是非常神秘的，”新泽西州普林斯顿高等研究所的数学家雷切尔·格林菲尔德说。也许还有更多的爱因斯坦瓷砖等着我们去发现，但几何帽并没有透露任何线索，史密斯学院的退休数学家马乔里·塞内查尔说:“这些东西是你偶然发现的。”

　　编者按:这个故事的前一个版本出现在网上，标题是“新发现的数学“爱因斯坦”形状创造了一个永不重复的模式”。