创造性地铺浴室地板对DIY家居装修者来说不仅仅是一项有压力的任务。这也是数学中最难的问题之一。几个世纪以来，专家们一直在研究瓷砖形状的特殊性质，这些形状的瓷砖可以覆盖地板、厨房后挡板或无限大的平面而不留下任何缝隙。具体来说，数学家感兴趣的是可以覆盖整个平面而无需重复设计的瓷砖形状。在这些被称为非周期性平铺的特殊情况下，没有可以复制和粘贴的模式来保持平铺的进行。无论你如何分割马赛克，每一部分都是独一无二的。

　　到目前为止，非周期性瓷砖总是需要至少两块不同形状的瓷砖。许多数学家已经放弃了用一块瓦片找到答案的希望，这种瓦片被称为难以捉摸的“爱因斯坦”瓦片，它的名字来自德语，意思是“一块石头”。

　　去年11月，英国约克郡退休的印刷系统工程师大卫·史密斯取得了突破性进展。他发现了一个13边的凹凸不平的形状，他认为这可能是爱因斯坦瓷砖。当他告诉安大略省滑铁卢大学(University of Waterloo)的计算机科学家克雷格·卡普兰(Craig Kaplan)时，卡普兰很快意识到这种形状的潜力。卡普兰与软件开发人员约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯和阿肯色大学的数学家查伊姆·古德曼-施特劳斯一起，证明了史密斯的单一瓷砖确实在平面上没有缝隙，也没有重复。更妙的是，他们发现史密斯不仅发现了一个，而且发现了无数个爱因斯坦磁瓦。该团队最近在一篇论文中报告了他们的研究结果，该论文发表在预印本服务器arXiv.org上，尚未经过同行评审。

　　任何一个走过西班牙格拉纳达阿尔罕布拉宫令人惊叹的马赛克走廊的人，都知道为飞机铺瓷砖所涉及的艺术。但是这样的美蕴含着无法回答的问题——正如数学家罗伯特·伯杰在1966年所说的那样，这些问题是无法证明的。

　　假设你想在一个无限大的表面上铺上无限大的方形瓷砖。然而，你必须遵循一个规则:瓷砖的边缘是有颜色的，只有相同颜色的边缘可以接触。

　　有了无限块的瓦片，你就开始铺设碎片。你找到了一个你认为会起作用的策略，但在某个时候，你进入了死胡同。有一个缺口，你无法用现有的贴图填充，你不得不将不匹配的边放在一起。游戏结束。

　　但当然，如果你有正确的瓷砖和正确的颜色组合，你就可以摆脱困境。例如，也许您只需要一个所有边缘都是相同颜色的瓦片。数学家会看着你的游戏问:“你能仅仅通过一开始给你的颜色瓷砖类型来判断你是否会进入死胡同吗?这肯定会为你节省很多时间。”

　　伯格发现，答案是否定的。总有一些情况，你无法预测你是否能在没有缝隙的情况下覆盖表面。罪魁祸首是:非周期性平铺的不可预测性和非重复性。在他的研究中，伯杰发现了一组令人难以置信的20426种不同颜色的瓷砖，它们可以铺成一个平面，而颜色图案不会重复。更妙的是，不管你怎么铺，这组瓷砖在物理上都不可能形成一个重复的图案。

　　这一发现提出了另一个一直困扰数学家的问题:最少需要多少个瓦片形状才能构成一个非周期镶嵌?

　　在接下来的几十年里，数学家们发现越来越小的瓷砖可以创造非周期性的马赛克。首先，伯杰找到了一个有104种不同瓷砖的盒子。1968年，计算机科学家Donald Knuth发现了一个92的例子。一年后，数学家拉斐尔·罗宾逊发现了一种只有六种瓦片类型的变体——最终，在1974年，物理学家罗杰·彭罗斯提出了一种只有两种瓦片的解决方案。

　　然后，进展就停滞了。从那以后，许多数学家都在寻找单瓦解，即“爱因斯坦”，但没有人成功，包括彭罗斯，他最终将注意力转向了其他谜题。但64岁的退休人员大卫·史密斯(David Smith)并没有放弃。据《纽约时报》报道，他喜欢玩PolyForm Puzzle Solver，这是一款可以让用户设计和组装瓷砖的软件。如果一个形状看起来有希望，史密斯就剪下几块纸拼图来做实验。然后，在2022年11月，他遇到了现在著名的瓷砖，因为它的礼帽形状，他称之为“帽子”——尽管卡普兰强调，许多人认为它看起来更像一件t恤。

　　当卡普兰收到史密斯发来的一封带有“帽子”的电子邮件时，这很快激起了他的兴趣。在软件的帮助下，他排列了越来越多的帽子形状的瓦片，似乎它们可以真正覆盖整个平面，而不会形成重复的图案。

　　但是，如果他不断地铺瓷砖，这种重复的图案仍然可以显示出来——也许只有当飞机长到几光年时，多余的部分才会出现。研究人员需要从数学上证明瓷砖是非周期性的。卡普兰转向迈尔斯和古德曼-施特劳斯，他们过去在瓷砖方面做过大量工作。

　　起初，他们惊讶于潜在的爱因斯坦瓦的简单性，因为“帽子”有一个相当简单的13面形状。如果你以前问古德曼-施特劳斯一个难以捉摸的爱因斯坦瓷砖会是什么样子，“我会画一些疯狂的、弯曲的、令人讨厌的东西，”他告诉《科学新闻》。当数学家们仔细观察这个形状时，他们意识到他们可以改变两边的长度，仍然可以创造出一个无缝的、非周期性的马赛克。这一形状为无数的爱因斯坦瓦打开了大门。

　　数学家们需要确凿的证据来支持他们的主张。首先，他们使用了专家们几十年来一直依赖的方法来证明某些类型的瓷砖可以创造非周期性的马赛克。但迈尔斯也超越了这些旧方法，创造了一种全新的方法来证明它，这可能也适用于其他倾斜。

　　这种行之有效的方法最好的解释是罗宾逊1969年的六瓦组合。在Robinson的tile上绘制的橙色和绿色线的功能类似于前面无限正方形示例中的彩色边。这里的规则同样简单:只有当绿色和橙色的线连续时，两块罗宾逊牌才能放在一起。

　　遵循这一规则的结果是一个由越来越大的橙色方块组成的可识别的模式。如果你继续缩小，这些正方形会继续变大，并彼此相交。这建立了一个层次结构，其中马赛克的每个部分都有其独特的位置。你不能在不破坏规则和破坏结构的情况下移动或交换任何部分。这告诉我们镶嵌一定是非周期的。

　　卡普兰、古德曼-施特劳斯和迈尔斯能够为史密斯提出的帽子形状的爱因斯坦瓦展示类似的东西。为了使瓦片更容易使用，他们把帽子崎岖的边缘磨平，变成更容易识别和有用的形状——例如，一个帽子瓦片可以近似成一个三角形。他们还使用多个爱因斯坦瓷砖集群来创建不同的形状。他们可以将四张帽子瓦片排列成六边形，两张瓦片排列成五边形，另两张瓦片组合成平行四边形。这四个平滑的形状，每个都只由爱因斯坦瓷砖组成，然后可以完全覆盖平面的图案。

　　数学家们证明了这种瓷砖不包含重复的图案，因为就像罗宾逊的六张瓷砖一样，这四种特殊的形状形成了等级结构。如果你把这四个爱因斯坦瓷砖集群(六边形、五边形、平行四边形和三角形)排列在一起，它们将不可避免地创造出一个相同形状的更大版本。然后，如果您将这些较大的形状组合在一起，您将创建这些形状的更大版本，等等。这个过程可以无限重复，形成一个层次结构。因此，不能将整个模式分割为重复的部分。如果您只是简单地将模式的部分移到另一个地方，那么整个结构就会被破坏。

　　这个证明需要一些复杂的计算，所以三位科学家求助于计算机。他们免费发布了他们的计算机辅助证明，以便任何人都可以检查它的错误。

　　但迈尔斯还不满意。他创造了一种证明非周期性的新方法，通过证明爱因斯坦帽子与其他更容易研究的著名瓦片相连，可以用手工来证明，而不需要计算机。这些相关的瓷砖是由称为polyiamond的形状制成的，由等边三角形组合而成的简单瓷砖。迈尔斯调整了爱因斯坦帽子的一些边缘，形成了两种不同的聚菱形排列，遵循帽子相同的瓷砖图案——一种形状像v形，另一种形状像六边形和菱形放在一起。尽管他们的视觉差异，这三种安排都有相同的性质。如果数学家能证明这两种聚亚金刚石平铺都是非周期的，那么原来的平铺也一定是非周期的。

　　值得庆幸的是，对于聚酰亚胺，证明是一个基本的数学问题。数学家可以用一个叫做平移向量的量来表示多边形排列的对称性。如果这两种新的排列包含重复的模式，那么它们的平移向量的长度应该彼此相关——具体地说，它们的比值应该是有理数。但相反，这些向量的比值是根号2——显然是一个无理数——这表明聚亚金刚石的排列不是周期性的。因此，最初的帽子瓦确实是爱因斯坦。

　　科学家在他们的论文中解释说，迈尔斯的新证明方法也可能对其他瓦片有帮助。但就目前而言，无论是专家还是业余瓦工，都对手中拥有期待已久的爱因斯坦瓦片感到兴奋不已。家居装饰的可能性是无限的。正如威廉姆斯学院的数学家科林·亚当斯告诉《新科学家》杂志的那样:“如果我现在在铺瓷砖，我会把它放在我的浴室里。”

　　本文原载于《科学光谱》(Spektrum der Wissenschaft)，经授权转载。